VEKTOR, JENIS VEKTOR, OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

VEKTOR, JENIS VEKTOR, OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

Nama: Fibra Fiolyn Fabian Fa

Kelas: X MIPA 1

No absen: 19

Hari/tanggal: Rabu, 3 Maret 2021

VEKTOR, JENIS VEKTOR, OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah. Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .

Penulisan nama vektor :

dengan menggunakan huruf kapital harus menggunakan dua huruf, sebagai contoh vektor $\vec{AB}$
adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang ruas garis AB dan arahnya dari A ke B.
sedangkan dengan huruf kecil hanya satu huruf, sebagai contoh $\overset{̅}{a}$

Jenis-jenis Vektor

Ada beberapa jenis vektor khusus yaitu:
Vektor Posisi
Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A $(a_1,a_2)$
Vektor Nol
Suatu vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan $\bar{0}$ . Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.
Vektor satuan
Suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari $\vec{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right)$ adalah:
$\bar{U_v} = \frac{\bar{v}}{\mid\bar{v}\mid} = \frac{1}{\mid\bar{v}\mid}\left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\end{array}\right)$
Vektor basis
Vektor basis merupakan vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi $(R^2)$ memiliki dua vektor basis yaitu $\bar{l} = (1,0)$ dan $\bar{j} = (0,1)$ . Sedangkan dalam tiga dimensi $(R^3)$ memiliki tiga vektor basis yaitu $\bar{I} = (1, 0, 0)$ , $\bar{J} = (0, 1, 0)$ , dan $\bar{K} = (0, 0,1)$ .

Operasi Vektor di R^2

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika $\vec{a} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\end{array}\right)$ dan $\vec{b} = \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\end{array}\right)$ maka:
$\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)$
Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:
Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:
$\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\end{array}\right)$
Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:
$\bar{a} + \bar{b} = \bar{b} + \bar{a}$
$\bar{a} + (\bar{b}+\bar{c}) = (\bar{a} + \bar{b}) + \bar{c}$

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di $R^3$ secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di $R^2$ dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan vektor di $R^3$ sama dengan vektor di $R^2$ yaitu:
$\bar{a} + \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)$
Dan
$\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end{array}\right)$

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika $\bar{v}$ adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
$k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\\ k.v_3\end{array}\right)$

Hasil kali skalar dua vektor

Selain rumus di $R^3$ , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika $\bar{a} = a\bar{I} + a_2\bar{J} + a_3\bar{K}$ dan $\bar{b} = b_1\bar{i} + b_2\bar{j} + b_3\bar{k}$ maka $\bar{a}.\bar{b}$ adalah:
$\bar{a}.\bar{b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)$
CONTOH SOAL:

Contoh Soal 1

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p+q.
Pembahasan 1:
Jika titik-titik A, B, dan C segaris maka vektor $\bar{AB}$ dan vektor $\bar{AC}$ bisa searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan membentuk persamaan
$m.\bar{AB} = \bar{AC}$
Jika B berada diantara titik A dan C, diperoleh:
$\bar{AB} + \bar{BC} = \bar{AC}$
sehingga:
$\bar{AB} = \left(\begin{array}{r} 6-2\\ 6-4\\ 2-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right)$
$\bar{AC} = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -6-6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array}\right)$
Maka kelipatan m dalam persamaan:
$m.\bar{AB} = \bar{AC}$
$m.\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} p-2\\ q-4\\ -12\end{array} \right)$
$-4.m = (-12) \rightarrow m = 3$
Diperoleh:
$2.m = (q - 4) \rightarrow 6 = (q - 4)$
$q = 10$
$4.m = (p - 2) \rightarrow 12 (p - 2)$
$p = 14$
disimpulkan:
p+q=10+14=24

Komentar